游戏中的数学(游戏中的数学手抄报)（游戏中的数学（游戏中的数学手稿）文章)

关于自然常数E的快乐之谜困扰着许多专业的数学从业者。看看你能解决哪一个？

写作|帕拉德普·穆塔里克

编译|哪吒

图片来源:James Round/Quanta杂志

π是我们熟悉的超越数，因为它无处不在，但是欧拉数E是如何超越普通数的呢？

在日常用语中，& # 34；超然& # 34；这个词指的是不平凡的东西，是秘密的，难以理解的，有一种接近魔法或神秘的力量。另一方面，在数学中，“先验”这个词的含义相当普通。它简单描述了一类数——超越数——不可能是多项式方程的解，比如ax3+bx2+cx+d=0，其中系数A，B，C，D是有理数，X的最高次幂可以是任意正整数。正如伟大的数学家莱昂哈德·欧拉所说，“它们超出了代数方法的能力。”

但是“先验”这个词的日常内涵对于两个最著名的先验数——万有常数π和e来说却是真实的，这两个数字真的是神秘而强大，并且表现出近乎神奇的性质。它们在许多数学分支中起着核心作用，在你最意想不到的时候出现在问题的解决中。在这两个数字中，π对我们大多数人来说要熟悉得多。每个学生都知道它的近似值，并在计算中使用过。但是另一个，欧拉数(自然常数)e或者2.71828…，相对来说就不为人知了。事实上，查尔斯·埃尔米特在1873年证明了E是第一个无结构的超越数。必须明确指出的是，“非构造的”在这里，因为在1850年，约瑟夫·刘维尔提供了超越数的第一个可证明的例子——但这个数是他为了那个唯一的目的而构造的，它并没有自然地出现在数学的任何分支中。当然，这使得它与数学中几乎无处不在的E大相径庭。很多人都知道E是自然对数的底数，它出现在复利、指数增长和衰减等理论中。，但在这些域中，我们在计算时并没有显式地满足E。今天我们来讨论一些常见的问题，其中E会意外出现，让大家对它的普遍性有个大概的了解。

和π等超越数一样，E也有无限的十进制表示——它的数是无穷的，没有规律可循。即便如此，E的前15位还是有好玩的规则模式，很容易记住。只要把他们分组如下:2.7 1828 1828 45 90 45。当然，这种规律性纯粹是巧合——其余的数字完全是随机的。但是E有几个惊人的特点，使它在所有数字中独一无二。在这一系列的谜题中，你会了解到其中的一些属性，有些是经典的，当然也是我自己加上去的。欧拉数E会很自然地出现在它们之中，即使你只是模糊地理解E出现的原因，你也能欣赏它们。这种先验表现的确切细节留给那些受过必要数学训练的人。看看谁能用最简单的方式表达这种联系。

难题1:分解

取任意一个数，比如10，写成一些大小相等的数之和，比如两个5，然后相乘:5 × 5 = 25。现在你可以把10写成3、4、5或6个大小相等的数之和，然后做同样的事情。做产品的时候会怎么样？

2等份:5 × 5 = 25

等分:3.33 × 3.33 × 3.33 = 37.04

等分:2.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5 = 39.06

等分:2× 2× 2× 2 = 32

6.等分:1.67× 1.67× 1.67× 1.67× 1.67 = 21.43

你可以看到产品数量增加，然后似乎达到最大值，然后开始减少。试着对其他一些数字也这样做，比如20和30。你会发现，每种情况下都会发生同样的事情。这和数字本身无关，是e的独特属性造成的。

A.看看你能否算出乘积何时达到给定数字的最大值，以及这与e的关系。

提示:当每个等份的值最接近E时，乘积达到最大值。

B.对于数字10，最大的乘积(39.06)比第二大的乘积(37.04)大约大5.5%。在不计算实际差值的情况下，你能猜出小于100的正整数中，哪个最大乘积和第二大乘积的百分比差值最小吗？为什么会这样？

C.你能解释一下为什么E会出现在这个看似简单的问题里吗？

难题二:相亲

一个亿万富翁的未婚继承人有麻烦了。根据继承条款，他需要在21周内结婚，否则将失去他的份额。尽管短期内，他决心选择最好的伴侣，所以他注册了一个名为e-marriage的婚姻应用程序。该应用有以下规则:其专有算法可以立即为用户匹配与用户要求高度一致的候选人，每两周一次。在这两周内，用户必须与候选人会面，了解他/她，并接受或拒绝他/她。候选人一旦被否决，将不会被召回。

继承人的想法是，他能在20周内遇到10个很般配的潜在候选人，并在截止日期前的最后一周结婚。但他还是希望最大化自己选择最佳伴侣的几率。因此，当他知道候选人时，他会给每个人分配一个等级。问题是他无法预测没见过的匹配者的排名，以及他拥有的匹配者的最终排名。太早接受一个人，他可能会错过更好的那个；如果他等得太久，他可能已经错过了最好的。

A .假设不存在排名相同的情况，继承人如何最大化选择最佳伴侣的机会？b .如果有10%的概率两人并列第一，继承人遇到最佳伴侣的几率会有怎样的变化？

C.这是一个经典问题，它的解和E有关，能解释一下E是怎么进入答案的吗？

虽然这个经典问题着眼于最大化继承人选择最佳人生伴侣的机会，但即使是E也不能保证超然的幸福。这是因为，如果最佳候选人提前出现并被拒绝，继承人可能会在第20周末被排名低得多的候选人困住。如果目标是选择一个最好的候选人，但不一定是最好的候选人，就需要一个更实用的方法。如果我们假设10个候选人的排名从1到10，1是最高排名，我们希望有一种方法，比如说，在大多数情况下，选择前三名或前四名之一。

d .在这种更实际的选择场景中，继承人如何选择候选人的最高期望排名？

最后，对于那些还没玩够的读者来说，这里有一个更难的谜题。

难题三:亲密关系

我们假设继承人成功了，他确实在婚姻中找到了幸福，继承了巨额财富。这对幸福的夫妇决定去一个情侣度假胜地。在那里，一场独家音乐会被安排在一个礼堂里。入场以先到先得的方式进行。当然，观众只由伙伴组成。当一对夫妇进入礼堂时，他们随机选择了两个相邻的座位。每对夫妇都会做同样的事情。一般来说，这将导致两对夫妇之间有一个空座位。入场一直持续到只剩下一个座位，然后礼堂被宣布满座，演出开始。

A.当停止入场时，预计会有百分之几的空位？

b. e .是怎么进入这个礼堂的？

这就是关于超越数的有趣内容。希望你喜欢解这些谜题，说不定还能学到一些你以前不知道的欧拉数E的神奇性质。
所以，令人费解的幸福谜题，在此祝你在超然禅定中“e- harmony”。

本文翻译自《公交al数字在日常数学中的藏身之处》原文链接:https://www.quantamazine.org/where-transit Al-Numbers-Hide-in-daily-Math-2021 10 27/